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要實現 ElGamal 數字簽名算法，可以按照以下步驟：
- 生成密鑰對：
- 選擇一個大素數 p 作為模數。
- 選擇一個生成元 g，確保 g 是 p 的一個原根。
- 隨機選擇一個私鑰 x，滿足 0 < x < p-1。
- 計算公鑰 y = g^x mod p。
- 簽名：
- 隨機選擇一個整數 k，滿足 0 < k < p-1。
- 計算 r = g^k mod p。
- 計算 e = H(m)，其中 H 是一個哈希函數，用于將消息 m 映射為一個整數。
- 計算 s = (e – x r) k^(-1) mod (p-1)，其中 k^(-1) 是 k 的模逆。
- 最終的簽名為 (r, s)。
- 驗證：
- 計算 e = H(m)。
- 計算 w = s^(-1) mod (p-1)，其中 s^(-1) 是 s 的模逆。
- 計算 u1 = e w mod (p-1) 和 u2 = r w mod (p-1)。
- 計算 v = (g^u1 * y^u2 mod p) mod (p-1)。
- 如果 v 等于 r，則簽名有效；否則，簽名無效。
下面是一個 Python 實現的示例代碼：
import random
def powmod(a, b, p):
result = 1
while b > 0:
if b % 2 == 1:
result = (result * a) % p
a = (a * a) % p
b = b // 2
return result
def eg_sign(message, p, g, x, k, hash_func):
r = powmod(g, k, p)
e = hash_func(message)
s = ((e - x * r) * powmod(k, -1, p-1)) % (p-1)
return (r, s)
def eg_verify(message, signature, p, g, y, hash_func):
r, s = signature
e = hash_func(message)
w = powmod(s, -1, p-1)
u1 = (e * w) % (p-1)
u2 = (r * w) % (p-1)
v = (powmod(g, u1, p) * powmod(y, u2, p)) % p % (p-1)
return v == r
# 選擇一個大素數 p 和生成元 g
p = 107
g = 2
# 隨機選擇私鑰 x
x = random.randint(1, p-2)
# 計算公鑰 y
y = powmod(g, x, p)
# 消息
message = "Hello, world!"
# 哈希函數
def hash_func(message):
return hash(message) % (p-1)
# 隨機選擇 k
k = random.randint(1, p-2)
# 簽名
signature = eg_sign(message, p, g, x, k, hash_func)
print("Signature:", signature)
# 驗證
valid = eg_verify(message, signature, p, g, y, hash_func)
print("Valid:", valid)注意：這只是一個簡單的示例，實際應用中需要使用更大的素數 p 和生成元 g，并選擇更安全的哈希函數。
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正文完
