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01

雞兔同籠問題

【含義】

這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只頭和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。

已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數量關系】

第一雞兔同籠問題：

? 假設全都是雞，則有兔數=（實際腳數-2×雞兔總數）÷（4-2）

? 假設全都是兔，則有雞數=（4×雞兔總數-實際腳數）÷（4-2）

第二雞兔同籠問題：

? 假設全是雞，則有兔數=（2×雞兔總數-雞與兔腳之差）÷（4+2）

? 假設全是兔，則有雞數=（4×雞兔總數+雞與兔腳之差）÷（4+2）

02

解題思路和方法

解此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。

如果先假設都是雞，然后以兔換雞；

如果先假設都是兔，然后以雞換兔。

這類問題也叫置換問題。

通過先假設，再置換，使問題得到解決。

例 1：

雞和兔在一個籠子里，共有 35 個頭，94 只腳，那么雞有多少只，兔有多少只？

假設籠子里全部都是雞，每只雞有 2 只腳，

那么一共應該有 35×2=70（只）腳，而實際有 94 只腳，這多出來的腳就是把兔子當作雞多出來的，每只兔子比雞多 2 只腳，

一共多了 94-70=24（只），

則兔子有 24÷2=12（只），

那么雞有 35-12=23（只）。

例 2：

動物園里有鴕鳥和長頸鹿共 70 只，其中鴕鳥的腳比長頸鹿多 80 只，那么鴕鳥有多少只，長頸鹿有多少只？

解：

假設全部都是鴕鳥，則一共有 70×2=140（只）腳，此時長頸鹿的腳數是 0，鴕鳥腳比長頸鹿腳多 140 只，而實際上鴕鳥的腳比長頸鹿多 80 只。

因此鴕鳥腳與長頸鹿腳的差數多了 140-80=60（只），這是因為把其中的長頸鹿換成了鴕鳥。

把每一只長頸鹿換成鴕鳥，鴕鳥的腳數將增加 2 只，長頸鹿的腳數減少 4 只，

那么鴕鳥腳數與長頸鹿腳數的差就增加了 6 只，

所以換成鴕鳥的長頸鹿有 60÷6=10（只），鴕鳥有 70-10=60（只）。

例 3：

李阿姨的農場里養了一批雞和兔，共有 144 條腿，如果雞數和兔數互換，那么共有腿 156 條。雞和兔一共有多少只？

解：

根據題意可得：前后雞的總只數 = 前后兔的總只數。

把 1 只雞和 1 只兔子看做一組，共有 6 條腿。

前后雞和兔的總腿數有 144+156=300（條）

所以共有 300÷6=50（組），也就是雞和兔的總只數有 50 只。

例 4：

一次數學考試，只有 20 道題。做對一題加 5 分，做錯一題倒扣 3 分（不做算錯）。

樂樂這次考試得了 84 分，那么樂樂做對了多少道題？

解：

如果 20 題全部做對，應該得 20×5=100（分），而實際得了 84 分，少了 100-84=16（分）。

做錯一題和做對一題之間，相差 5 +3=8（分），

所以少了的 16 分，也就是做錯了 16÷8=2（題）。

一共 20 題，所以樂樂做對了 20-2=18（題）。

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