奇函數(shù)四則運(yùn)算以后該如何判斷函數(shù)的奇偶性？

hello，大家好，這里是擺渡學(xué)涯，很高興在這跟大家見(jiàn)面了，馬上要進(jìn)入期中考試了，你的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備到哪里了？這次課程咱們來(lái)講一下奇函數(shù)相關(guān)的變形考點(diǎn)，對(duì)于奇函數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算該如何判斷函數(shù)的奇偶性呢？

1 已知 f(x) 為奇函數(shù)，判斷–f(x) 的奇偶性

證明：因?yàn)?f（x）為奇函數(shù)，所以 f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足：f（x）=-f（-x），因此 -f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 -f（x）=f（-x），令 g（x）=-f（x），則 g（x）=-g（-x），即 g（x）為奇函數(shù)，則 -f（x）為奇函數(shù)。

下面咱們給出個(gè)實(shí)際的例子：已知 f（x）=x，-f（x）=-x，則 -f（x）為奇函數(shù)。相關(guān)的證明你下去自己證明一下吧。（溫馨提示，根據(jù)奇函數(shù)的定義即可證明出來(lái)哦。）

2 已知 f(x) 是奇函數(shù)，判斷 f(-x) 的奇偶性

證明：因?yàn)?f（x）為奇函數(shù)，所以 f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足：f（x）=-f（-x），因此 -f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 -f（x）=f（-x），令 g（x）=-f（x），則 g（x）=-g（-x），即 g（x）為奇函數(shù)，則 -f（x）為奇函數(shù)。

下面咱們給出個(gè)實(shí)際的例子：已知 f（x）=x，-f（x）=-x，則 -f（x）為奇函數(shù)。相關(guān)的證明你下去自己證明一下吧。（溫馨提示，根據(jù)奇函數(shù)的定義即可證明出來(lái)哦。）

3 已知 f(x) 和 g(x) 都是奇函數(shù)，且定義域相同，判斷 f(x)g(x) 的奇偶性

證明：因?yàn)?f（x），g（x）為奇函數(shù)，所以 f（x），g（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足：f（x）=-f（-x），g（x）=-g（-x）因此 f（x）g（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 f（x）g（x）=f（-x）g（-x），令 h（x）=f（x）g（x），則 h（x）=h（-x），即 g（x）為偶函數(shù)，則 f（x）g（x）為偶函數(shù)。

下面咱們給出個(gè)實(shí)際的例子：已知 f（x）=x，g（x）=-x，則 f（x）g（x）=- x 的平方為偶函數(shù)。相關(guān)的證明你下去自己證明一下吧。

4 已知 f(x) 和 g(x) 是表達(dá)式不互為相反數(shù)奇函數(shù)，且定義域相同，判斷 f(x)+g(x) 的奇偶性

證明：因?yàn)?f（x），g（x）為奇函數(shù)，所以 f（x），g（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足：f（x）=-f（-x），g（x）=-g（-x）因此 f（x）+g（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 f（x）+g（x）=-f（-x）-g（-x），令 h（x）=f（x）+g（x），則 h（x）=-h（-x），即 g（x）為奇函數(shù)，則 f（x）+g（x）為奇函數(shù)。注意：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式互為相反數(shù)的時(shí)候，此時(shí)的函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，常數(shù)函數(shù)的奇偶性我們是不做要求的哦。

下面咱們給出個(gè)實(shí)際的例子：已知 f（x）=x，g（x）=2 x，則 f（x）+g（x）=-3 x 為奇函數(shù)。相關(guān)的證明你下去自己證明一下吧。

5 已知 f(x) 和 g(x) 是不相等的兩個(gè)奇函數(shù)，且定義域相同，判斷 f(x)-g(x) 的奇偶性

根據(jù) 4 相關(guān)的證明即可進(jìn)行相關(guān)的證明哦。證明過(guò)程留給你自己去證明了。咱們給出結(jié)論 f（x）-g（x）沒(méi)有奇偶性（奇偶性不確定）。例如：f（x）= x 的三次方，g（x）=x，f（x）-g（x）非奇非偶哦。完整的證明過(guò)程你一定要自己去寫(xiě)一下哦，否則你還是不理解奇函數(shù)哦。如果你還是沒(méi)有證明出來(lái)，請(qǐng)跟我們一起交流遇到的困難哦。咱們下次課再見(jiàn)吧。當(dāng)然你也可以考慮一下函數(shù)的除法，自己給出證明的。

時(shí)間關(guān)系，本次課程我們就為大家分享到這里了，我們下次課再見(jiàn)。如您有相關(guān)的疑問(wèn)，請(qǐng)?jiān)谙路搅粞裕覀儗⒌谝粫r(shí)間給以大家滿意的回復(fù)。

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