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怎樣學習數學的簡單介紹

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提起數學,很多人都會覺得瑟瑟發抖。怎么才能學好數學?大家都知道,微積分是一切高級數學的基本功,你翻開一本教課書,講解微積分要用好幾百頁。怎樣才能學好微積分?不是讀萬卷書,不是走萬里路,而是盡量投機取巧…

出品:”SELF 格致論道講壇 ” 公眾號(ID:SELFtalks)

以下內容為中國科學院院士林群演講實錄:

聊聊各個階段的數學

林群:各位聽眾,今天很有幸能跟各位談論一點有關數學的事情。

數學知識太多了,我們不可能統統掌握,所以只能在眾多的數學分支里面,挑選那些最重要的進行學習。

什么是最重要的呢?比如說我們小學學的算術,那是人類幾萬年智慧的結晶。小學念完念中學,中學是簡單的代數,也相當于算術的發展,還有一些初等的幾何學,這是人類幾千年的智慧結晶,所以我們要學。

中學念完念大學,大學學什么呢?大學主要學微積分和線性代數,這個是人類幾百年探索的結果。

總而言之,人類留下的財富需要我們站在巨人的肩膀上來吃透它,消化它。所以我們必須學習,否則就要回到黑暗中重新探討,那太可怕了。

我想引用哈佛大學數學系教授邱成桐的講話。聽說他經常告誡學生,要學好微積分和線性代數,歸根結底一切高級的數學都是微積分和線性代數的各種變化。

所以,我們學習必須有重點,不能夠鋪開學,太多了,反而學不好。多則少,你想學很多,你得到很少;反過來少則多,如果你學得很少,比如你就學一點小學數學,學一點中學數學,再學一點大學數學,大學數學就是指微積分和線性代數,這些學習內容對我們的一生都是非常有助益的。

我再重復一遍,多則少!大家不要什么都學,不要學得很多,也不要做很多。現在有各種活動吸引我們,但是我覺得對于學習來說,這些只能起到 輔助 的作用。

最重要的還是在課堂上學習,把正課學好。把小學的數學,最簡單的算術學好,把中學數學最簡單的代數和幾何學好,把大學的數學學好,就是把微積分和線性代數學好,這是最重要的。

然后,在接下來的工作中再發展,繼續學習,因為學無止境。這是第一點意見,供各位家長和學生參考。

怎樣學習數學

怎么學習數學呢?數學太難了,我是最怕數學的,我們一家人都怕數學,我認識很多朋友,包括各種各樣工作場合,都最怕數學。

所以數學怎么學,是我很苦惱的問題。我是經常在心里面思考這個問題的。

剛才我說了,邱成桐先生認為,微積分是一切高級數學的基本功。但是,微積分怎么學呢?你翻開一本教課書,講解微積分要用好幾百頁。

我從 50 年前就開始學微積分了,但是看一些教課書,我看得暈頭轉向,講的內容太多了。

許多教科書很煩瑣,大家要警惕。所以我們要把微積分學好,不是讀萬卷書,不是走萬里路,而是盡量投機取巧。

我認為學微積分跟學別的數學一樣,假傳萬卷書,真傳一案例,把一個案例學好,你就把整個微積分的精神掌握了。

學習微積分用什么案例呢?應該用我們平常生活里經常見到、經常用到的案例。

比如我們經常坐高鐵,高鐵車廂里頭有一個標志顯示當前的時速是多少,也就是一小時走多遠。速度就是路程除以時間。

我們經過天津站的時候,就顯示時速多少,經過大連站時也會顯示時速多少。時速是什么意思呢?就是指某一時刻的速度,某一時刻的速度是什么意思?

你看,那個時刻不動,時間等于零,沒有時間,火車不能運行,所謂當時的速度,你仔細想想,是一個 0 除以 0 的問題,沒有時間,就沒有路程。那么路程比時間,速度就是 0 比 0。 0 比 0 的問題是很嚴重的,使得牛頓這樣的大物理學家都覺得傷腦筋。

但是牛頓很聰明,他想出了辦法計算 瞬時速度。他設想,火車在很短的時間里,走過很短的距離,因為時間很短,火車沒有時間加速,所以它的瞬時速度應該是可以這么計算的,把它變換成一個在很短的時間里面走過的很短路程。

微積分說明書

大家好好想想看,時間很短,火車沒有時間加速,所以,速度只有很小的變化,用這個辦法來計算,我這里寫的,小路程,由 x 點跑到 x + h 點,很短的時間內,瞬時速度變化很小,因為沒有時間變化,時間太短了,瞬時速度很小。

瞬時速度 + 小變化,再乘以短時間,小路程是這么算出來的,小路程是瞬時速度 + 小變化,然后再乘以短時間。把它分開,小學的算術學過了,(A+B)×C=A×C+B×C,瞬時速度×短時間 + 小變化×短時間,時間縮短以后,小變化就很小,基本上被消滅掉。

全路程就是小路程加起來,小路程加起來是什么意思呢?就是瞬時速度×短時間,加起來,再加上小變化×短時間,短時間加起就是總時間。

比如說北京到上海是一小時,一小時就是總時間。總時間是固定的,比如說一小時,總時間乘以小變化還是很小,因為時間是固定的,時間不變,就是一小時,乘以小變化,還是小變化。

總而言之,全路程是瞬時速度乘以短時間相加,再加上小變化乘以總時間,小變化乘總時間還是小變化,因為總時間是固定的。

比如說一小時,小變化乘一小時,還是小變化。通常是這樣,如果瞬時速度不斷走,短時間加起來,積累得很多,就是積分了。這個是等于把小學、中學的數學,到大學換了一個名詞。

小學的數學跟大學的數學、初等數學和高等數學,本質的區別不大,但是要換一個稱呼,把原來的 相加 變成 積分 了。

這樣的話,就變成一個速度×時間的積分,然后加上小變化×總時間。如果時間不斷縮短,小變化就沒有了,整個就是速度×時間的積分,也就是路程是速度×時間的積分。這樣子就是 大學微積分的制高點 了,有了這個制高點就好辦了。

以火車的瞬時速度為案例講這么多,是希望把整個微積分展開在你面前,面對案例要認真分析,認真思考,看以下附錄。

從小朋友到年齡大一點的人,都應該把瞬時速度作為我們的思考題,在某一時刻,火車的速度究竟是多少?某一時刻,時間沒有變化,速度等于路程除以時間,某一時刻,如果時間沒有變化,路程還是那個路程,所以速度應該是 0 比 0。

但是牛頓很聰明,把這個問題變通了,最后變成瞬時速度 + 小變化,再乘以短時間,后面的演算是比較簡單的,這樣微積分就掌握了。

我強調一下,假傳萬卷書,真傳一案例,所以我們要找真傳,不要讀很多書。很多人認為應該 走萬里路,讀萬卷書。

我的經驗不是這樣的,因為我是很笨的人,我讀書讀得很慢,不可能讀萬卷書。我讀一本書就滿頭大汗,讀幾年都讀不懂,最后才發現上當了,原來真傳只有一個案例。今天要講的就是從哲學的角度來講學習方法,你們要記住:假傳萬卷書,真傳一案例。

我想再說一說,我們現在教科書有很大的問題。容許我批評一點,我們的教科書把簡單的東西講得很復雜。能夠通過一個案例說清楚的,不講案例,卻講怎么證明,怎么推導定理,這就是假話。

事實上,證明是靠發明的,定理是靠道理的,所以我們首先應該給學生講道理,講發明,而不是講定理,講證明。

當我們把道理弄清楚了,多數情況下證明自動就弄清楚了。比如說剛才講的微積分,把火車瞬時速度的案例搞清楚,證明兩行、三行,最多四行就出來了。

現在書上不講道理,現在的教科書證明剛才這樣的一個定理就是一本書。我們在學習時很忌諱不講發明,只講證明;不講道理,只講定理。

所以我希望數學文化發生改變,變成講道理的學問,變成講發明的科學。

其實據介紹說,牛頓是三一學院里的平凡學生,當時倫敦出現瘟疫,他逃到鄉間,在鄉間思考,蘋果打到頭上發現了萬有引力定律。

不管故事是否真實,但是說明了一個問題,只有在鄉間,不在學校里面,不過忙碌的生活,思考才能做出創造。

現在我們的活動太多了,沒時間思考。你看小學生參加多少活動、競賽,中學生的活動更多。

家長要改變自己的做法,讓孩子有閑暇的時間,在樹下散散步,在湖里游游泳,讓他們去思考,去發明,不要整天考試。

考試是一個機器,我也接觸了個別的考試能手,我非常佩服他們,他們做題比我快得多,一眨眼就做出來了,但是他們不知道在做什么題。

所以家長們最好不要希望孩子一個個都是考試能手,應該讓孩子過平常的生活。天天都可以考試,你從小學考起,中學也考,大學也考,我進大學就考了一百題,一天考一百題。

所以考試很平常,沒什么了不得,讓他去考,考得好,考不好都不要緊。牛頓之后最偉大的科學家是愛因斯坦,愛因斯坦大學畢業的時候成績不算好,在專利局做三級科員。

就是這樣一個三級科員,一個在大學學的很差的平凡學生,結果做出很大成就。因為他會思考,他反對不思考就進行推理,反對不思考就進行證明,這讓他成為繼牛頓之后最偉大的科學家。

我們希望各位同學都應該把自己看作一個平凡的人,看作是三級科員,看作是很差的學生,但是我們有正確的學習方法,我們知道案例學習,我們一個案例頂萬卷書,這樣的話效率其實是很高的。

所以我今天就講這些,希望一個案例頂萬卷書,希望大家學得少,學得好,千萬不要圖多,嚼不爛,結果什么都懂,又什么都不懂。

一個很有名的故事,一個牧師在布道,牧師越講越激動,可是觀眾一片睡著了,我希望你們沒有睡著,那就是成功了,謝謝大家!

主持人:非常感謝林老師精彩的報告,如雷貫耳,現在和現場觀眾朋友們進行互動。

林群:我再補充一句,為了防止很多人攻擊我,我首先說,我自己就不懂得數學,我自己學得很差。說實在話,我們這些人都沒有成就,哪些人有成就呢?

比如屠呦呦的成就可能很多人都想不到,我相信屠呦呦的智商并不一定很高。我不認識她,我覺得她可能是很平常的人。可是她一輩子鉆研了一件事情,少則多,她只做一件事,研究中藥——青蒿素。

就這一件事情救了非洲多少萬人,這就是她的貢獻。誰偉大?還是屠呦呦偉大。BBC 選出 100 年來最偉大的三位科學家,就是愛因斯坦、圖靈和屠呦呦。

與觀眾互動

主持人:接下來進入一個互動的環節,在場的選兩個問題,一個小朋友,一個家長,誰想提問,舉手。

觀眾 1:現在這個社會,我認為是比較注重考分的,很多大學,他們都是以考分為準。在工作方面,很多公司也是要看你是從哪個大學畢業。雖然我非常贊同您的觀點,數學確實應該去多思考,不應該那樣死板??荚嚹切〇|西沒用,但是對于現在這個社會,還是以考分為主,您對此持什么觀點?

林群:最近大家都經常講到考試的問題,我覺得這個不重要。剛才說的奧賽冠軍,當然很厲害,比我不知道厲害多少,我做一年,他可能一下子就做完了。

要知道,他是一個解題能手,但是他沒有提出問題的能力,有什么用處呢?你給他這個題做,他給你做,但是他沒有想法,所以不要羨慕這些人。

我自己認為,屠呦呦是我們的榜樣,玩青蒿素玩了一輩子,玩出了諾貝爾獎。

你說她是天才嗎?她是神童嗎?所以我們家長要求太低了,就要求孩子考得好,可以找到好職業,這算什么呢?考得好,好職業算什么,真的有貢獻的人,就不能僅僅靠考試。

考試很平常,考試沒什么的,我告訴你,我進大學,一天考一百道題,考好又怎么樣?現在誰問你考多好?

我們很值得追查屠呦呦這個人的經歷,究竟她小學、中學、大學學得怎么樣,我相信對我們會帶來鼓勵。

普通人都能學好數學,普通人都有貢獻,只要有屠呦呦那樣的精神。能做出貢獻的不是那些才子佳人,我覺得那些都靠不住。

主持人:謝謝,我理解林老師說數學這個東西,普通人只要努力用功就能學好,考 100 分算不了什么,要有更遠大的目標。

林群:考 100 分不算什么,要求不能太低。比如說我進廈門大學的時候,一天做 100 題,你就考了 100 分又算什么?

我后來進中科院,到現在沒做什么好工作,我敢這么說自己,我都看不上自己,因為我沒有屠呦呦那樣的精神。

只是我年紀大知道已經晚了,屠呦呦年輕時就找到了正確的方向。她看中了中草藥,最后成功了。

所以家長對你們的孩子,要求要更高,一定不能說僅僅要考得好,找到好職業就行了,好職業算什么?

我們中國還有一個世界名人,研究三體問題的數學家,在世界范圍內都很有影響力,大家都認為他是非常了不起的榜樣,可是他是一個來自山西的很普通的學生。他的生活也很普通,職業也一般,但是他做得很好。

我們在很好的地方,我 1956 年就在中科院,多好的地方,可是我做出什么成績來,我看到他,覺得差太遠了。像我這樣的人,在科學上根本不值一提,為什么呢?家長們,一定要要求高,不能只要求孩子考得好,找到好職業。

主持人:應該再狠一點,不能僅僅要求他們 100 分。

林群:對,我再講一個。我們都很關心人大,人大開完會,選出很多部長。你看看部長的經歷,大部分是從基層出來的,這才是真正的人才。

部長是國家棟梁,大部分人都是小學念得很普通,在農村一步步成長的,然后從科員、科長慢慢鍛煉出來,這才是中國真正的人才。

主持人:給大家解釋一下,林院士是 30 后,1935 年出生的,跟我爺爺年紀差不多。

林群:我比他爺爺大得多了,我 84 歲。

觀眾 2:林院士好,主持人好!大家的掌聲已經說明了對您的觀點的認可,但是在數學上,否定一件事情比肯定一件事情容易很多。

我的問題是,現在的評價制度,或者說分數的評價制度是不好的。我們要引導孩子們去思考,養成思考的習慣或者思維方式,但是我們到底應該怎么做呢?

主持人:您覺得有沒有什么更好的方式,比現在的制度更適合我們目前的狀況的?

林群:對于這個問題,我是沒有經驗的,但是我覺得,家長要對孩子管得嚴,還是應該強調成績的。

比如說我知道國外一些學生,他們怎么教育孩子呢?他們覺得孩子喜歡什么,就應該鼓勵他們做什么。結果這些孩子都去念動物學,因為孩子愛狗,愛貓。

如果孩子喜歡貓,我們家長就讓他念貓學,喜歡狗就念狗學,喜歡動物,就去念動物學,都去做動物學,行嗎?別的行業誰做呢?

我們中國的家長,讓孩子把小學、中學、大學念好,這是基本功,把這個念好,做什么都可以。

不能置之不理,讓孩子自動放棄他的教育。小孩不懂學習的重要性,你不逼他,他就無法全面發展,所以還是要逼小孩念書。

只是說,要對小孩要求高一點,要讓他思考,不能滿足于他考得好,得一點小獎,不能滿足于這些雕蟲小技。

但是這些很難做到,我們每個人都希望孩子受最好的教育,孩子受最好的教育,不一定能培養出好科學家。

聽說過去有一個高考狀元,結果去當和尚,當和尚不是不好,但是說明他的發展有限。你學再好有什么用處,最后你沒有對社會有貢獻。

而像屠呦呦這樣的人,對社會貢獻非常大,我相信她學得不一定最好,但是她研究青蒿素就能成功。

SELF 格致論道講壇是中國科學院全力推出的科學文化講壇,致力于精英思想的跨界傳播,由中國科學院計算機網絡信息中心和中國科學院科學傳播局聯合主辦,中國科普博覽承辦。SELF 是 Science, Education, Life, Future 的縮寫,旨在以格物致知的精神探討科技、教育、生活、未來的發展。關注微信公眾號 SELFtalks 獲取更多信息。

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丸趣
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