正交矩陣，

只是一個矩陣！

不好意思，你們要的老大被我正交了。

談起正交變換，不知道模友們是否記得之前一篇文章——如何通過心形線快速認識秩的幾何意義？里面提到一位很牛逼的數學家費羅貝尼烏斯(F.G.Frobenius，1849-1917)。

他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣 、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了 正交矩陣 與合同矩陣的一些重要性質。

沒錯，今天要討論的就是他的貢獻之一，正交矩陣與正交變換。

故事開始，先從 代數角度 理解一下正交矩陣。

其實很簡單，我們找到兩個相同的矩陣 Q，它們一起睡覺，一個躺著睡（仰臥），一個翻轉過來睡（俯臥），通過一晚上的成長，早上起來它們生出了一個簡單又特殊的矩陣——單位矩陣（主對角線都是 1，其余為 0），因此就稱 Q 為正交矩陣。

站在更高角度看，我們把 n 階正交矩陣全體和矩陣乘法運算看成一個 正交群，記作 O(n)。如果這些正交矩陣的行列式恰好都是 1，那就更特殊了（因為它們的娃單位矩陣行列式也是 1，有種遺傳性能的感覺），我們稱之為 特殊正交群，記作 SO(n)。

下面我們舉一個栗子，驗證一下二維旋轉矩陣是不是正交矩陣

它們一起睡覺，開始造人了

這樣就得到了結論：旋轉矩陣就是正交矩陣。

模友們可以通過 簡單運算 判斷下面這個矩陣是否是正交矩陣(看看誰能最快算出來)

我相信，中國的最強大腦在這里！

那接下來，再從 幾何角度 理解一下正交變換。

先給出一個大家非常熟悉的定義：

這段比較通俗的正交變換解釋出自于在同濟大學的《線性代數》教材上（如果想不起來那有可能上課睡過去了

），當然，超模君覺得它十分不嚴格，如果要嚴格版本，就沒有那么顯然易懂了：

正交變換就是一個保持內積的線性變換 φ，它從 V 映到 V，其中 V 為實內積空間。具體的，對任意向量 u，v∈V，我們有（其中 (u,v) 表示內積）。

我們也知道，正交變換能保持三角形形狀不變，這讓超模君想到了正交變換中的 平移 和旋轉變換。

確實！通過平移或旋轉，不會改變三角形的形狀。

那正交變換的優良是什么梗？

那是因為它還有許多不變的性質，稱之為 忠心耿耿變換 再好不過了。

點、線、面的全家福

點、線、面正是吃了正交變換這顆仙丹，使它們保持身體健康青春有活力：

正交變換把點變為點，直線（線段）變為直線（長度相等的線段），把平行線變為平行線，把共線（不共線）三點變為共線（不共線）三點；保持直線夾角不變，最下面三個圖形經過正交變換后形狀、大小完全不變（全等）。

多么 漂亮優美 的性質啊！試想一下，換成別的變換，哪怕是一個正方形，變換過去就面目猙獰，六親不認了。

如果登場的是一個出身不菲的大佬……

怪形

怎么是凸的？看著不爽，我們先移動節點讓它每兩條直線都不香蕉

（相交）吧：

最強大腦現場

那么通過正交變換后，這個圖形的形狀和大小會改變嗎？

沒有思路？我們連幾條輔助線就豁然開朗了：

好了，超模君要問一個問題了，原來的怪形，通過正交變換，形狀也會不變嗎？

最后來說說正交變換（矩陣）的應用。計算機中使用的軟件工具無不離開強大的數學原理，圖像處理也不例外，這在之前的特征向量文章中就有提及過。

用矩陣表示圖像，構造正交均值差分變換矩陣，通過矩陣的乘法對原始圖像進行正交變換，進一步取閾值，我們只存儲絕對值大于閾值的系數（刪去矩陣上一些系數），來實現數據圖像的壓縮。我們來看一組圖片：

小貓原始圖像及不同閾值下的解碼圖像

可以看到，雖然貓越來越模糊，但仍然不失真，不會把貓變成一只狗，通過最后一幅圖片我們還是可以辨別它就是貓。

這讓超模君想起了經常使用的動圖壓縮工具，如果動圖時間越長，壓縮出來的圖像就越是 av 畫質了，可以看到下面一張動圖，壓縮前是一個旋轉，壓縮后就像打雷一樣。

本文系網易新聞·網易號各有態度特色內容

部分資料來源于網絡

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